初心者でもわかる材料力学10 代表的なはりのたわみを求める。（片持ちはり、単純支持はり、たわみ）

前回ではりのたわみの求め方の基本が説明できた。今回は、実際に代表的なはりのたわみを求めていく。

また初心者でもわかる材料力学を順に学びたい人はこちらの索引からどうぞ

代表的なはりは、片持ちはりと単純支持はり（両持ちはり）の2種類になる。

前回でも述べたが複雑な構造物でも分解していけば大抵の場合、この2つで構成されていることが多い。

よって2つの解法、たわみ角、たわみ量の結果を覚えてしまえば簡単に設計検討でのほとんどの構造体の変形の予想がつく。

特にレイアウト、スケッチの段階では正確な値は必要ではなく、どの方向にどの程度の変形するのかを把握するとことは、とても重要だ。

そんなに難しくないので是非、理解して欲しい。また大切な項目なのでできるだけ丁寧に解いていく。

片持ちはりのたわみ

まず片持ちはりを説明する。はりに等分布荷重が加わった場合とはりの先端に荷重が加わる2パターンを説明する。

等分布荷重が加わる場合

まずいつもの通り例題を設定していこう。長さlの片持ちはりに等分布荷重q[例えば単位は、N/mm]（合計の荷重はql)がはり全体に掛かる。座標は、はりの先端を原点とする。

まずは任意の点Cの曲げモーメントMを求める。前回のおさらいだが剪断力による変形は極小なので無視するのでここでは考えない。

いつもの通り任意の点Cでカットした断面の力の釣り合いを考え、モーメントの釣り合いを考える。

今回は剪断力を無視するのでモーメントだけ求める。

任意の点Cでのモーメントを求めるのだが、はり全体に等分布荷重qが掛かっているので単純には求めることができない。

よって点Cから距離ξ（クサイ）離れた微小区間dξに掛かるモーメントを考えて点Cまで足し合わせ（積分)れば求まる。

はりの詳細は、はりの応力を参照。

では距離ξ（クサイ）の点Cにかかるモーメントは、距離×力より$ qdξ×ξ $で点C原点からの距離x)まで足し合わせるので曲げモーメントMは次のようになる。

$ M=-\int_0^xqdξ×ξ=-\frac{q}{2}x^2 $符合は、モーメントが反時計周り(はりを上に変形させる方向）だから符合は、ー（マイナス）

これで曲げモーメントがわかったので前回で求めたたわみの微分方程式に代入すれば良い。

$ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M}{EI}=\frac{q}{2EI}x^2 $

これを積分していくと

$ θ=\frac{dy}{dx}=\frac{q}{2EI}(\frac{x^3}{3}+C1) $

$ y=\frac{q}{2EI}(\frac{x^4}{12}+C1x+C2) $

となる。

ここで前回に解説した大切な境界条件を考える。

今回の片持ちはりでは固定端（右端）が強制的に壁で変異が0なのでX=lで$ \frac{dy}{dx}=0 $およびy=0となりそれぞれを代入すると

$ C1=-\frac{l^3}{3},C2=\frac{l^4}{4} $

となる。これらからはりのたわみとたわみ角は次の式で求まる。

$ θ=\frac{dy}{dx}=\frac{q}{6EI}(x^3-l^3) $

$ y=\frac{q}{24EI}(x^3-4l^3x+3l^4) $

で最大たわみ角θmaxと最大たわみ量ymaxは、先端(x=0)で起きると考えられるので

$ θmax=-\frac{ql^3}{6EI} $

$ ymax=\frac{ql^4}{8EI} $

となる。

このように境界条件と最大たわみ角、たわみ量を求めるのにははりの動きが想像できないと求められない。

だからこれまでの解説の暗記ではなく物理現象の理解を深めて想像できるようになろう。

忘れたら調べれば良い。調べた時に意味がすぐ理解できるようなって欲しい。

次に片持ちはりの先端に荷重Pがかかった時のたわみを求めていこう。

はりの先端に荷重が加わる場合

まずいつも通り例題を設定する。長さlの片持ちはりで先端に荷重Pが掛かる。座標軸は先端Aを原点に取る。

いつも通り任意の点Cでの力の釣り合いとモーメントの釣り合いを求める。たわみでは剪断力は、無視できる。

任意の原点から距離xの点C周りの曲げモーメントを考えると

図より曲げモーメントは$ M=-Px $になるのでたわみの微分方程式に代入すると

$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{P}{EI}x $

ここからたわみ角θ、たわみ量yを求めると

$ θ=\frac{P}{EI}(\frac{x^2}{2}+C1) $

$ y=\frac{P}{EI}(\frac{x^3}{6}+C1x+C2) $

境界条件は固定されている端でx=lでθおよびyは0なので

$ C1=-\frac{l^2}{2}.   C2=\frac{l^3}{3} $

よってはりのたわみ角θとたわみyは、

$ θ=\frac{dy}{dx}=\frac{P}{2EI}(x^2-l^2) $

$ y=\frac{P}{6EI}(x^3-3l^2x^2+2l^3) $

で最大たわみ角θmaxと最大たわみ量ymaxは先端Aで発生するので

$ θmax=-\frac{pl^2}{2EI} $

$ymax=\frac{Pl^3}{3EI}$

これは覚えておくと便利だ。

構造物を分解すると片持ちはりなんて頻繁に出てくるのでさっとイメージできるようにしよう。本当は片持ちはりになるような構造は、あまり良くないのだが機能上どうしても必要になる時がある。その時は注意して設計しよう。

次は単純支持はりだ。

単純支持はりのたわみ(両持ちはり）

ここでは単純支持はりの2パターンを紹介する。一つは、はりの任意の位置に荷重が掛かる場合、もう一つがはりの両端に曲げモーメントだけが掛かる場合を解説する。

はりの任意の位置に荷重が掛かる場合

いつも通り例題を設定しよう。長さlのはりが両端A,Bで支えられ点aからaだけ離れた位置に荷重P（点Bからの距離は、l-aなのだが計算を楽に進めるためbとする)が掛かっている場合のたわみを求める。座標は点Aを原点とする。

まずは外力の釣り合いを考えて

$ P=RA+RB $

次に点A周りと点B周りのモーメントの釣り合いから

$ Pa=RBl. RAl=Pb $

ここからRA、RBは、

$ RA=\frac{Pb}{l}. RB=\frac{Pa}{l} $

となる。

次に内力の釣り合いを考える。点Aを座標原点とすると2パターン考えられる。任意の点xが荷重P位置の手前までと荷重P位置を超えた場合に別れる。

図より曲げモーメントMはxの位置によって異なる。

$ M1=RA×X=\frac{Pb}{l}x  (0≦x≦a) $

$ M2=RAx-P((l-x)=\frac{Pa}{l}(l-x)  (a≦x≦l) $

これをたわみの微分方程式に代入すると

$ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M1}{EI}=-\frac{Pb}{EIl}x  (0≦x≦a) $

$ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M2}{EI}=-\frac{Pa}{EIl}(l-x)  (a≦x≦b) $

これを重積分法で解くと

$ θ1=\frac{dy}{dx}=-\frac{Pb}{EIl}(\frac{x^2}{2}+C1) (0≦x≦a) $

$ θ2=\frac{dy}{dx}=-\frac{Pa}{EIl}(-\frac{(l-x)^2}{2}+C2) (0≦x≦a) $

$ y1=-\frac{Pb}{EIl}(\frac{x^3}{6}+C1x+C3) (0≦x≦a)  $

$ y2=-\frac{Pa}{EIl}(\frac{(l-x)^3}{6}-C2(l-x)+C4) (a≦x≦l)  $

ここで境界条件がC1,C2,C3,C4と4つ出てきてしまった。

未知数が4つある場合は、方程式が4つないと解けないので境界条件は4つある。

豆知識だが変数がn個存在する方程式をつくのには、n個の式が必要になるのだ（変数xで一個なら方程式は1個ですむ、変数x、yで2個なら式は2個必要）。

これは考えればわかることではりは繋がっているので式が異なってもx=aのときはたわみ角、たわみ量は同じはずである。

これより

$ C3=C4=0 $

$ θ1=\frac{a^2b}{2}+C1b=-\frac{ab^2}{2}+C2a=θ2 $

$ y1=\frac{a^2}{6}+C1=\frac{b^3}{6}-C2=y2 $

これより

$ C1=-\frac{a(a+2b}{6},C2=\frac{b(2a+b)}{6} $

でたわみ角、たわみ量は次の式で表される。

$ θ1=\frac{dy}{dx}=\frac{Pb}{6EIl}(-3x^2+a(a+2b)) (0≦x≦a) $

$ θ2=\frac{dy}{dx}=\frac{Pa}{6EIl}(3(l-x)^2-b(2a+b)) (a≦x≦b) $

$ y1=\frac{Pb}{6EIl}(-x^3+a(a+2b)x) (0≦x≦a) $

$ y2=\frac{Pa}{6EIl}(-(l-x)^3+b(2a+b)(l-x)) (a≦x≦b) $

荷重Pがはりの中央にある場合は、$ a=b=\frac{l}{2} $となり

たわみ量の最大は、はりの中央で

$ ymax=\frac{Pl^3}{48EI} $

となる。

これはかなり重要な結果で片持ちはりと同様に頭に入れておこう。

はりの両端に曲げモーメントが掛かる場合

まずは例題を設定していこう。

長さlの両持ちはりの両端に曲げモーメントMA、MB(MB>MA)が作用している。座標ははりの左端を原点とする。

いつも通り外力のい釣り合いを考えると

$ RA+RB=0 $

点B周りのモーメントの釣り合いを考えると

$ RAl+MA-MB=0 $

これらから

$ RA=-RB=\frac{MB-MA}{l} $

次に任意の位置での曲げモーメントMを求めると（剪断力は無視する)

$ M=RAx+MA=\frac{MB-MA}{l}x+MA $

これをたわみの微分方程式に代入して重積分法で求めると

$ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{1}{EI}(\frac{MB-MA}{l}x+MA) $

$ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{EI}(\frac{MB-MA}{2l}x^2+MAx+C1) $

$ y=-\frac{1}{EI}(\frac{MB-MA}{6l}x^3+\frac{MA}{2}x^2+C1x+C2) $

次に大切な境界条件を考えるとx=0,lのときたわみy=0なので

$ C1=-\frac{(2MA+MB)l}{6},C2=0 $

なのでこれをたわみ角θ、たわみ量yに代入すれば

$ θ=\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{6EI}(-\frac{3(MB-MA)}{l^2}x^2-\frac{6MA}{l}x+(2(MA+MB)) $

$ y=\frac{1}{6EI}(-\frac{MB-MA}{l^2}x^3-\frac{3MA}{l}x^2+(2MA+MB)x) $

で両端のたわみ角は

$ θA=\frac{(2MA+MB)l}{6EI} $

$ θB=\frac{(MA+2MB)l}{6EI} $

で曲げモーメントMA＝MB=Mとした場合は

$ θmax=θA=θB=\frac{Ml}{2EI} $

たわみ量の最大は$ x=\frac{l}{2} $のときで

$ ymax=\frac{Ml^3}{8EI} $

となる。

まとめ

今回の解説で重積分方による代表的なはりのたわみを求めた。

基本的に境界条件さえわかればどんな複雑な構造物でも変形量は計算できる（数学上の解法の難易度は別として）。

特に現在はシミレーションが発達しているので数学上の難しさ、複雑さの敷居は低くなっているので尚のこと境界条件に注意しよう。

次回は重積分法とは、異なるたわみの求め方を紹介する。使う頻度はさほど多くないのだが概念は知っておいた方が良いので是非、見て欲しい。

基本的に本内容の教科書は存在せず筆者オリジナルだが筆者が学生から使っている教科書を紹介する。

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