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初心者でもわかる材料力学

初心者でもわかる材料力学14 代表的なはりのたわみ (はりの実際の使用例)

前回は代表的な断面二次モーメントを説明した。

初心者でもわかる材料力学13 代表的な断面の断面二次モーメント(断面の実際の使用例)

今回は、代表的な断面二次モーメントを使うはりのたわみを紹介する。

また初心者でもわかる材料力学を順に学びたい人はこちらの索引からどうぞ

機械構造物は、単純化すると複数のはりが組み合って構成されていると言っても過言ではない。

強度計算を行う場合にはりの問題は、避けて通れないのだ。

また機械を設計するのに強度計算は避けられない。つまり常に使われる大切な考え方であると言える。

ただし全てが自力のみで解ける必要はない。意味を理解しておいて忘れたら調べれば良いだけである。

はりのたわみの意味はこちら

初心者でもわかる材料力学6 はりの応力ってなんだ?(はり、梁、曲げモーメント)

計算手法(重積分法はこちらで紹介している。

初心者でもわかる材料力学9 はりのたわみを求めてみる。(はり、梁、たわみ、たわみ角)

工夫次第で簡単に求められる方法は、こちら

初心者でもわかる材料力学11 はりのたわみを簡単に求める。(面積モーメント法、特異関数)

不静定問題、及び組み合わせはりはこちらを参照してくれ。

初心者でもわかる材料力学12 はりの不静定問題を解いてみる、他 (重ね合わせ法、組み合わせはり)

上記の記事の説明でほぼはりのたわみを求められるが面倒だと思うので代表例を紹介する。

ここからははりのたわみの意味を理解した上で代表的な解を紹介していく。

代表的なはりのたわみ

ここからの説明では全て一様な断面を持つ(断面二次モーメントIとする)弾性係数がEのはりとする。座標は、はりの左端部を原点としした方向が+yで右方向が+xに統一する。

複合材などを求めるときはこちらを参照して等価断面を求めればこれから紹介する公式みたいなのに当てはめることができる。

初心者でもわかる材料力学12 はりの不静定問題を解いてみる、他 (重ね合わせ法、組み合わせはり)

はりの先端に荷重を受ける片持ち支持はり

はりの先端に荷重Pを受ける片持ち支持はりのたわみ量y、たわみ角θ

$ たわみy=\frac{Pl^3}{6EI}(3-\frac{x}{l})\frac{x^2}{l^2} $

$ ymax=\frac{Pl^2}{3EI} (x=l) $

$ たわみ角θ=\frac{Pl^2}{2EI}(2-\frac{x}{l})\frac{x}{l} $

$ θmax=\frac{Pl^2}{2EI} (x=l) $

これは、はりのたわみの基本形でかなりよく使う。

実際には軸の先端にギヤが付いていてそのギヤがあるトルクで廻る時に反力として軸に荷重がかかり片持ちはりのようになる。

この時にたわみも重要だが軸受の寿命計算をするのにはりの根本の荷重が必要だったりする。

等分布荷重qを受ける片持ちはり

等分布荷重q(N/mmなど)を一様に受ける片持ちはりのたわみ量y、たわみ角θ

$ たわみ量y=\frac{ql^2}{24EI}x^2(6-4\frac{x}{l}+\frac{x^2}{l^2})$

$ ymax=\frac{ql^4}{8EI} (x=l) $

$ たわみ角θ=\frac{ql^2}{6EI}x(3-3\frac{x}{l}+\frac{x^2}{l^2}) $

$ θmax=\frac{ql^3}{6EI} (x=l) $

これは流体を受け止めるのに使うはりだ。

リードバルブ、リリーフバルブと呼ぶ穴と穴を塞ぐ板バネで構成されていて板バネが圧力を受けてたわむと穴に隙間ができて流体が流れる。

つまり圧力によって作動する可動蓋みたいなものだ。

これは筆者の専門のエンジンでは必ず付いている。また日常的にも気づいていないだけで台所、お風呂、洗面所などの水まわりでよく使われていると思う。

はりの中央に荷重Pがかかった両持ちはり

はりの中央$ \frac{l}{2} $に荷重Pが掛かる両持ちはりのたわみ量y、たわみ角θ

$ たわみ量y=-\frac{Pl^3}{96EI}(\frac{x^3}{l^2}-3x). (x≦ \frac{l}{2}) $

$ たわみ量y=-\frac{Pl^3}{12EI}(1-\frac{l}{x})(\frac{x^2}{l^2}-2\frac{x}{l}+\frac{1}{4}). (\frac{l}{2}≦x) $

$ ymax=\frac{Pl^3}{48EI} (x=\frac{l}{2}) $

たわみ角の一般式は省略する。

$ θmax=\frac{Pl^2}{16EI} (x=0,l) $

これは軸の真ん中にギヤが付いておいたり、台の上に物体を乗せたりとか普通の生活でもよくあるものなので特に紹介はしないが重要だ。

はりの両端にモーメントMがかかっている場合の両持ちはり

はりの両端にモーメントMが向かい合う方向で掛かっている両持ちはりのたわみ量y、たわみ角θ

$ たわみ量y=\frac{M}{2EI}x(l-x) $

$ ymax=\frac{Ml^2}{8EI}. (x=\frac{l}{2}) $

$ たわみ角θ=\frac{M}{2EI}x(l-2x) $

$ θmax=\frac{Ml}{2EI} (x=0,l) $

これもよく使うはりのたわみだ。

例えば二つの離れた壁をリブで繋いで補強する。壁が何かの力受けて倒れてくる。壁の倒れによりリブが強制変形させられモーメントがかかる。

よく考えると身近にもたくさんあると思う。例えばホームセンターで売っているコンクリートブロックの一部分がこの形が多いと思う。

等分布荷重qを一様に受ける両持ちはり

等分布荷重q(N/mm)を一様に受ける両持ちはりのたわみ量y、たわみ角θ

$ たわみ量y=\frac{ql^4}{24EI}\frac{x}{l}(1-2\frac{x^2}{l^2}+\frac{x^3}{l^3}) $

$  ymax=\frac{5ql^4}{384EI}. (x=\frac{l}{2}) $

$ たわみ角θ=\frac{ql^3}{24EI}(1-6\frac{x^2}{l^2}+4\frac{x^3}{l^3}) $

$ θmax=\frac{ql^3}{24EI}. (x=0,l) $

これは流体を受ける蓋などがこのタイプだ。完全に同じはりとして扱えないが容器の底の部分とかはこの考え方だ。

まあこのような容器を圧力容器とか薄肉容器問題として扱うことが多い。別項でしっかり説明するつもりだ。

このくらいわかれば良いと思う。

まとめ

今回もよほど変な設定をしない限り紹介したはりのたわみの組み合わせで大抵は、足りると思う。

流石にパッと見では、単純なはりに見えないが一つ一つ分解していくと案外、単純なはりの組み合わせだったりする。

そう言った場合は、重ね合わせ法で分解と足し合わせで解いてしまおう。

初心者でもわかる材料力学12 はりの不静定問題を解いてみる、他 (重ね合わせ法、組み合わせはり)

最も、繰り返すがシミレーションで求めることが多いので厳密解を関数電卓やて計算で求めることはかなり少ないと思う。

しかし、レイアウト、スケッチ段階で何回もシミレーションを実施たら時間が掛かったりシミレーション担当の人に怒られてしまう。なるべくならば一回の計算で決めたいもんだ。

そのためには、イメージが重要なので本講座でできるように是非、挑戦して欲しい。

次回は、ようやく破壊の代表である座屈の解説をする。

初心者でもわかる材料力学15 座屈ってなんだ? (弾性座屈、オイラーの公式)

基本的に参考書などはないが一応、筆者が使っている教科書を紹介する。これに沿って解説しているので一緒に読めば理解が深まるかもしれない。

また、ここで一つ、機械設計で必要な本があるので紹介しよう。

はっきり言って中身は不親切極まりないのだがちょっと忘れた時に辞書みたいに使える。一応、このブログを見てくれれば内容が理解できるようになって使いこなせるはずだ。

またよく使う規格が載っているので重宝する。今回、紹介した以上の種類のはりのたわみが記載されている。

多くの人が持っていると思うがない人はちょっとお高いが是非、買ってくれ。またこの本は中古で買うことが多いと思うのだがなるべくなら表面粗さが新JIS対応のものが良い。


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機械設計では基本になる本が一般にあまり出回っていない上に高価で廃盤も多い。

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しかもほとんどの企業が気密の観点から個人のスマホ、タブレットの持ち込みは難しく、全員にスマホ、タブレットを配る余裕もないと思うので本で持っているのが唯一の手段だったりする(ノートパソコンやCADマシンはあるけど検索、閲覧には使いづらい)。

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  • この記事を書いた人

kazubara

輸送機器メーカーでの元エンジン設計者。15年の職務経験から機械設計知識を伝道します。また職歴を活かしてエアソフトガンをエンジニアリング視点で考えてみる。

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